Ein klassisches Beispiel fĂŒr ein Axiomensystem in der Mathematik ist die Gruppentheorie. Eine Gruppe lĂ€sst sich ĂŒber einer Menge und einer zugehörigen (Rechen-)Operation bilden. Mathematische SĂ€tze lassen sich allein aus den vier Axiomen der Gruppe gewinnen. Die SĂ€tze gelten dann fĂŒr alle Mengen mit zugehöriger Operation, deren Merkmalen sich auf die Gruppenaxiome abbilden lassen.

Symbole sind die Elemente der Menge und das Operatorsymbol. Mit Hilfe der PrÀdikatenlogik lassen sich Axiome und SÀtze formal darstellen und beweisen. Die PrÀdikatenlogik erweitert die Aussagenlogik um

PrĂ€dikatenlogik-Symbol1: fĂŒr alle a gilt:

PrÀdikatenlogik-Symbol2: es existiert (mindestens ein) b, so dass

Daneben werden die Symbole der Aussagenlogik benutzt:

	nicht. Verneinung einer Aussage ist exakt dann wahr, wenn A falsch ist, und umgekehrt.
	und. Die Gesamtaussage ist exakt dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
	oder. Die Gesamtaussage ist exakt dann wahr, wenn entweder A oder B oder beide wahr sind.

Formales Axiom	Beschreibung
	FĂŒr alle a und b gibt es ein c, so dass a mit b multipliziert c ergibt.
	Wird das Ergebnis der Multiplikation von a und b anschließend multipliziert mit c, so erhĂ€lt man dasselbe wie wenn zunĂ€chst b mit c und danach a mit dem Ergebnis multipliziert. Dies gilt fĂŒr alle a, b, c.
	Es existiert ein e, so dass fĂŒr jedes b gilt: die Multiplikation von e mit b ergibt immer b, ebenso die Multiplikation von b mit e. e heißt neutrales Element.
	FĂŒr jedes a gibt es ein b, das mit diesem zusammen multipliziert das neutrale Element ergibt.

Darstellung der Axiome der Gruppentheorie mit Hilfe der PrÀdikatenlogik

Aus den Umwandlungsregeln der PrÀdikatenlogik lassen sich aus diesen Axiomen die SÀtze der Gruppentheorie rein formal ableiten. Eine solche Regel ist z.B.

PrÀdikatenlogikregel1:

Hier die Übersetzung:

PrĂ€dikatenlogikregel1: Wenn kein Element a existiert, so dass die Aussage B erfĂŒllt ist, so ist dies gleichbedeutend damit, dass fĂŒr alle a die Aussage B nicht gilt.

Die dargestellte PrĂ€dikatenlogik heißt PrĂ€dikatenlogik erster Stufe. Sie erlaubt Aussagen der Form "Alle Objekte haben das Merkmal" bzw. "Mindestens ein Objekt hat das Merkmal ...", jedoch keine Aussagen der Form "FĂŒr das Merkmal gilt: ...". Dies ist Logiken höherer Stufe vorbehalten. Trotzdem erlaubt die PrĂ€dikatenlogik erster Stufe die Formalisierung der Mengenlehre und damit nahezu der gesamten Mathematik.

• David Hilbert, W. Ackermann: GrundzĂŒge der theoretischen Logik. 6. Aufl., Springer 1972 ISBN 3540058435

Siehe auch: Formales System (Logik)